关于曲线的事儿，贝尔特拉米也没有少想过。
看过欧拉的《无穷分析》中关于曲线的定义后，他想找到很多生活中好想到的例子。
贝尔特拉米认为既然是研究曲面，哪怕是负曲率的曲面，肯定也是特定的一些线连续组合起来的。只是这样的线，需要一种可以有普遍性的定义才好。
贝尔特拉米认为，对这种可以组成负曲率的线，需要有一种细致入微的基本性。
贝尔特拉米早就找到了很多曲线，只需要在凸面找一个轴线，以这种轴线旋转，就可以得到负曲率的曲线。
问题在与这样的曲线需要以什么样的东西作为一个标准呢？
在物理上，又会有什么样的曲线呢？
他想象制造一种特殊的曲线，是用一个力形成的，让一个力拉动一个物体，不让物体的运动方向与力的方向相同即可。
这就是物体受力做曲线运动的基本定义。
而一个力直接拉动一个物体的话，无论如何物体的运动方向都是沿着力的方向的。
如果用一个绳子拉动物体，让这个力在绳子绷紧的时候跟这个绳子不在一个方向上，那就可以拉出一个曲线运动的样子了。
跟这个物体运动的曲线，起名为曳物线。
.用长度为a的细线牵引一个质点m，使细线另一端p沿不过质点的定直线移动，这时质点m的运动轨迹.定直线是曳物线的渐近线.
这个线的形成很简单，但是却意义重大，因为以它为基础可以形成一种伪球面。
只要把曳物线沿着一个轴转动就可以形成伪球面了。
贝尔特拉米认为，这就是把我曲线本质的一种方式。贝尔特拉米找过其他类型的曲线，但是却没有一种真正本质的定义的。
贝尔特拉米在想，让一个物体移动，是一个力造成的，对于这个力的本质的思索，已经很有必要。
在曲线运动中，最基本的有圆周的弧线运动，有抛物线运动等等，这些都是力的一些性质造成的。一个是方向时刻均匀改变的力，一个是一直不变的力。
如果找到其他类型变化的力，就会产生特殊的曲线，就会产生更加特殊的曳物线，进而产生特殊的伪球面。